Question

9．已知函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3．

（1）写出f（x）的值域（不写过程）；
（2）用五点作图法作出f（x）在一个周期上的图象；
（3）求f（x）的对称轴；  
（4）求f（x）的对称中心；
（5）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）直接利用正弦函数的值域写出f（x）的值域；
（2）通过列表描点用五点作图法作出f（x）在一个周期上的图象；
（3）利用正弦函数的对称轴方程，求解f（x）的对称轴；  
（4）通过正弦函数的对称中心，求解f（x）的对称中心；
（5）利用正弦函数的单调减区间，即可求函数f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）函数f（x）=3sin（$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$）+3∈[0，-3]．
（2）列表

X	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	-$\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11π}{3}$
y	3	6	3	0	3

作出f（x）在一个周期上的图象：

（2）对称轴为$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
即x=$\frac{2π}{3}$+2kπ，k∈Z．
（3）令$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=kπ，
即x=$-\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z
故对称中心为（$-\frac{π}{3}$+2kπ，3）（k∈Z）
（4）函数f（x）的单调减区间$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{2}$+2kπ，$\frac{3π}{2}$+2kπ]，（k∈Z）
即x∈[$\frac{2π}{3}$+4kπ，$\frac{8π}{3}$+4kπ]．（k∈Z）

点评 本题考查正弦函数的图象与性质，函数的单调性以及正弦函数对称性，基本知识的考查．