题目内容
已知命题：向量
，
不共线，设
=a
+b
，a，b均为实数，且满足a+b=1，则A，B，P三点共线．
（1）将此命题类比到空间，阐述一个相似的正确命题：向量
，
，
不共面．若点P满足向量关系： ，则 ．
（2）证明（1）中的命题．
| OA |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
（1）将此命题类比到空间，阐述一个相似的正确命题：向量
| OA |
| OB |
| OC |
（2）证明（1）中的命题．
考点：类比推理
专题：简易逻辑
分析：条件命题表示的点在直线上的充要条件，类比直线，推广到点在平面上的充要条件．
解答：
解：（1）由类比推理可知向量
，
不共线，设
=a
+b
，a，b均为实数，且满足a+b=1，则A，B，P三点共线．
故存在实数x，y，z满足
=x
+y
+z
，（其中x+y+z=1），则P，A，B，C四点共面．
（2）证明：由x+y+z=1，不妨设x≠0，可得x=1-x-y．
则
=x
+y
+z
=（1-y-z）
+y
+z
=
+y（
-
）+z（
-
），
于是
-
=y
+z
，
即
=y
+z
，
∵向量
，
，
不共面，
∴
，
不共线，
∴
，
，
共面，且具有公共起点A，
从而P，A，B，C四点共面
| OA |
| OB |
| OP |
| OA |
| OB |
故存在实数x，y，z满足
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
（2）证明：由x+y+z=1，不妨设x≠0，可得x=1-x-y．
则
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| OA |
| OB |
| OC |
=
| OA |
| OB |
| OA |
| OC |
| OA |
于是
| OP |
| OA |
| AB |
| AC |
即
| AP |
| AB |
| AC |
∵向量
| OA |
| OB |
| OC |
∴
| AB |
| AC |
∴
| AP |
| AB |
| AC |
从而P，A，B，C四点共面
点评：本题主要考查类比推理的应用．类比推理要先理解类比之前的命题成立的条件和推理过程，然后得出对应的类比结论．
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B、
| ||
C、
| ||
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|
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