Question

13．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），且如图所示的函数g（x）的图象是由f（x）的图象向下平移$\frac{5}{2}$个单位所得．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）当x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$]时，求函数f（x）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由g（x）的图象可以推到f（x）的图象是由g（x）向上平移$\frac{5}{2}$个单位，A=$\frac{最大值-最小值}{2}$，B=$\frac{最大值+最小值}{2}$，求出A、B的值，根据函数周期求出ω，f（x）过点（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{2}$），代入函数即可求得φ的值，可求得f（x）的解析式；
（2）由x的取值范围，写出2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}$]，由正弦函数图象，即可求得f（x）的取值范围．

解答 解：（1）g（x）的图象由f（x）的图象向下平移$\frac{5}{2}$个单位，
则f（x）的图象由g（x）向上平移$\frac{5}{2}$个单位，A=2，B=$\frac{1}{2}$；
T=2（$\frac{5π}{6}-\frac{π}{3}$）=π，$ω=\frac{2π}{T}$=2，
函数图象过点（$\frac{π}{3}$，$\frac{5}{2}$），代入得：$\frac{5}{2}$=2sin（2×$\frac{π}{3}$+φ）+$\frac{1}{2}$；
|φ|＜$\frac{π}{2}$，φ=-$\frac{π}{6}$，
求函数f（x）的解析式f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{2π}{3}$，2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}，\frac{7π}{6}$]，
根据函数图象可知f（x）的取值范围[$-\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]．

点评 本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的解析式的确定与其图象变换，着重考查正弦函数根据定义域求f（x）的值域，属于中档题．