Question

6．定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（　　）

• A． 8＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜16
• B． 4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8
• C． 3＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜4
• D． 2＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜3

Answer 1

分析 令g（x）=g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x），h（x）的导数，得到函数g（x），h（x）的单调性，可得g（2）＜g（1），h（2）＞h（1），由f（1）＞0，即可得到4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，
则g′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{3}-3{x}^{2}f（x）}{{x}^{6}}$=$\frac{xf′（x）-3f（x）}{{x}^{4}}$，
∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）-3f（x）＜0，
∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，
即有g（x）在（0，+∞）递减，可得
g（2）＜g（1），即$\frac{f（2）}{8}$＜$\frac{f（1）}{1}$，
由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8；
令h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，h′（x）=$\frac{f′（x）•{x}^{2}-2xf（x）}{{x}^{4}}$=$\frac{xf′（x）-2f（x）}{{x}^{3}}$，
∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）-2f（x）＞0，
∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
即有h（x）在（0，+∞）递增，可得
h（2）＞h（1），即$\frac{f（2）}{4}$＞f（1），则$\frac{f（2）}{f（1）}$＞4．
即有4＜$\frac{f（2）}{f（1）}$＜8．
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造g（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{3}}$，h（x）=$\frac{f（x）}{{x}^{2}}$，求出g（x）和h（x）的导数，得到函数g（x）和h（x）的单调性是解题的关键，本题是一道中档题．