Question

已知E，F分别为棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱B₁C₁，A₁D₁的中点，问在棱A₁B₁上是否有一点G，使得AG∥面FBED₁，并说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，由此利用向量法能求出在棱A₁B₁上是没有一点G，使得AG∥面FBED₁．

解答： 解：如图，以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，
D₁（0，0，2），F（1，0，2），B（2，2，0），

D1F

=（1，0，0），

D1B

=（2，2，-2），
设平面FBED₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • D1F =x=0 n • D1B =2x+2y-2z=0

，
取y=1，得

n

=（0，1，1），
假设棱A₁B₁上有一点G（2，b，2），使得AG∥面FBED₁，
∵

AG

=（0，b，2），∴

AG

•

n

=b+2=0，解得b=-2．
∴点G不在棱A₁B₁上．
故假设不成立，
∴在棱A₁B₁上不存在一点G，使得AG∥面FBED₁．

点评：本题考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．