Question

若存在非零常数p，对任意的正整数n，a_n+1²=a_na_n+2+p，则称数列{a_n}是“T数列”．
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），求证：{a_n}是“T数列”；
（2）设{a_n}是各项均不为0的“T数列”．
①若p＜0，求证：{a_n}不是等差数列；
②若p＞0，求证：当a₁，a₂，a₃成等差数列时，{a_n}是等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=n²求出数列的通项公式，代入a_n+1²=a_na_n+2+p成立，说明数列{a_n}是“T数列”；
（2）①由反证法，若{a_n}是等差数列，代入a_n+1²=a_na_n+2+p得到小于0的p不存在，说明假设错误；
②由a₁，a₂，a₃成等差数列，代入a_n+1²=a_na_n+2+p得到p=d²，由同一法说明{a_n}是等差数列．

解答： 证明：（1）由S_n=n²，得a_n=2n-1，
a_n+1²=（2n+1）²=4n²+4n+1，
a_na_n+2=（2n-1）（2n+3）=4n²+4n-3，
∴a_n+1²=a_na_n+2+4，
∴{a_n}是“T数列”；
（2）①由a_n+1²=a_na_n+2+p，p＜0，
若{a_n}是等差数列，则an+1=

an+an+2

2

，
代入a_n+1²=a_na_n+2+p，得an2+2anan+2+an+22=4anan+2+4p，
即(an-an+2)2=4p，
∵p＜0，此式显然不成立，
∴{a_n}不是等差数列；
②由a_n+1²=a_na_n+2+p，得a22=a1a3+p，
当a₁，a₂，a₃成等差数列时，
则(

a1+a3

2

)2=a1a3+p，即p=d²．
∴a_n+1²=a_na_n+2+d²．
假设{a_n}是公差为d的等差数列，
则a_n+1=a_n+d，a_n+2=a_n+2d，
代入a_n+1²=a_na_n+2+d²成立．
∴假设成立，即{a_n}是公差为d的等差数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差数列的性质，解答此题的关键是对新定义的理解，是中档题．