Question

16．等比数列{a_n}满足：a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=2，数列{b_n}满足：b₁=1，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$（以上n∈N^*），则{b_n}的通项公式是b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=2，可得q=2．可得a_n，b₁=1，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁=1，$\frac{{a}_{n+1}+{a}_{n+2}}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$=2，
∴q=2．
∴a_n=2^n-1．
b₁=1，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$（\frac{1}{2}）^{n}$，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$（\frac{1}{2}）^{n-2}$+…+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
则{b_n}的通项公式是b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：b_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了递推公式、等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．