Question

1．如图所示，在△ABO中，$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，AD与BC相交于点M，设$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow b$．试用$\overrightarrow a$和$\overrightarrow b$表示$\overrightarrow{OM}$，则（　　）

• A． $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{4}\overrightarrow a+\frac{2}{3}\overrightarrow b$
• B． $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$
• C． $\overrightarrow{OM}=\frac{2}{5}\overrightarrow a+\frac{3}{4}\overrightarrow b$
• D． $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{7}\overrightarrow a+\frac{3}{7}\overrightarrow b$

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，分别用$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OD}$和$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}$表示出$\overrightarrow{OM}$，根据三点共线原理列方程组求出λ，μ．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OB}$，∴$\overrightarrow{OA}=4\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OD}$，
设$\overrightarrow{OM}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则$\overrightarrow{OM}$=4λ$\overrightarrow{OC}$+μ$\overrightarrow{OB}$=λ$\overrightarrow{OA}$+2μ$\overrightarrow{OD}$，
∵AD，BC交于点M，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4λ+μ=1}\\{λ+2μ=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{7}}\\{μ=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$，∴$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{7}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{7}$$\overrightarrow{b}$．
故选B．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，向量的线性运算，属于中档题．