Question

4．等比数列{a_n}满足a_n＞0，n∈N^*，且a₃•a_2n-3=3²ⁿ（n≥2），则当n≥1时，${log_{\sqrt{3}}}{a_1}$+${log_{\sqrt{3}}}{a_2}$+…+${log_{\sqrt{3}}}{a_{2n-1}}$=（　　）

• A． $\frac{n（2n-1）}{2}$
• B． 2（2n²-n）
• C． $\frac{n^2}{2}$
• D． 2n²-n

Answer 1

分析 由给出的数列是等比数列，结合a₃•a_2n-3=3²ⁿ（n≥2），利用等比中项的概念求出a_n，利用对数式的运算性质化简要求值的式子，把a_n代入后在运用等差数列的求和化简即可得到答案．

解答 解：在等比数列{a_n}中，由a₃•a_2n-3=3²ⁿ（n≥2），
得：a_2n=a₃•a_2n-3=3²ⁿ（n≥2），．
因为a_n＞0，所以a_n=3ⁿ．
∴${log_{\sqrt{3}}}{a_{2n-1}}$=2log₃a_2n-1=2log₃3^2n-1=2（2n-1）
则${log_{\sqrt{3}}}{a_1}$+${log_{\sqrt{3}}}{a_2}$+…+${log_{\sqrt{3}}}{a_{2n-1}}$=2（1+2+3+…+2n-1）=2•$\frac{（2n-1）（2n-1+1）}{2}$=2（n²-n），
故选：B

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了对数式的运算性质，利用等比中项的概念求出a_n是解答该题的关键，此题是中档题．