Question

16．定义运算为：a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a，（a≤b）}\\{b，（a＞b）}\end{array}\right.$，如1*2=1，则函数f（x）=|2^x*2^-x-1|的值域为（　　）

• A． [0，1]
• B． [0，1）
• C． [0，+∞）
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 根据新定义a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a，（a≤b）}\\{b，（a＞b）}\end{array}\right.$，求解2^x*2^-x的值域即可．

解答 解：根据新定义a*b=$\left\{\begin{array}{l}{a，（a≤b）}\\{b，（a＞b）}\end{array}\right.$，
那么：2^x*2^-x=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，（{2}^{x}≤{2}^{-x}）}\\{{2}^{-x}，（{2}^{x}＞{2}^{-x}）}\end{array}\right.$，
∴函数f（x）=|2^x*2^-x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{|{2}^{x}-1|，x≤0}\\{|{2}^{-x}-1|，x＞0}\end{array}\right.$，
又∵当x≤0时，2^x∈（0，1]，
∴-1＜2^x-1≤0，
则：|2^x-1|∈[0，1），
又∵当x＞0时，2^-x∈（0，1），
∴-1＜2^-x-1＜0，
则：|2^-x-1|∈（0，1），
综上所得函数f（x）=|2^x*2^-x-1|的值域为[0，1）．
故选：B．

点评 本题考查了新定义的理解，读懂题意非常关键．同时考查了分段函数的定义域和值域的求法．属于中档题．