Question

已知各项均不为零的数列{a_n}，定义向量

cn

=(an，an+1)，

bn

=（n，n+1），n∈N^*．下列命题中真命题是（　　）

• A、若?n∈N^*总有

  cn

  ∥

  bn

  成立，则数列{a_n}是等差数列
• B、若?n∈N^*总有

  cn

  ∥

  bn

  成立，则数列

  e

  是等比数列
• C、若

  e

  ⊥(

  a

  -

  e

  )总有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，则数列

  e

  是等差数列
• D、若?n∈N^*总有

  cn

  ⊥

  bn

  成立，则数列{a_n}是等比数列

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列,平面向量及应用

分析：根据题意，分析平面向量平行、垂直的坐标表示，判断数列{a_n}是否为等差或等比数列．

解答： 解：∵向量

cn

=(an，an+1)，

bn

=（n，n+1），n∈N^*；
∴当

cn

∥

bn

，（n+1）a_n-na_n+1=0，
即

an+1

an

=

n+1

n

；
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a2

a1

•a₁
=

n

n-1

•

n-1

n-2

•…•

2

1

•a₁
=na₁，
∴数列{a_n}为等差数列，
∴A正确，B错误；
当

cn

⊥

bn

时，na_n+（n+1）a_n+1=0，
即

an+1

an

=-

n

n+1

；
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a2

a1

•a₁
=-

n-1

n

•（-

n-2

n-1

）•（-

n-3

n-2

）…（-

1

2

）•a₁
=

(-1)n-1

n

•a₁；
∴数列{a_n}既不是等差数列，也不是等比数列，
∴C、D错误；
故选：A．

点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示，也考查了等差与等比数列的应用问题，中档题目．