Question

设f（x）=

1

3

x3+ax2+5x+6在区间[1，3]上单调函数，则实数a的取值范围为（　　）

• A、[-

  5

  ，+∞)
• B、（-∞，-3]
• C、[-3，

  5

  ]
• D、（-∞，-3]∪[-

  5

  ，+∞）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：求导函数，f（x）在[1，3]上为单调函数，则f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立，利用分离参数法，借助于导数，确定函数的最值，即可求实数a的取值范围．

解答： 解：∵f′（x）=x²+2ax+5
又f（x）在[1，3]上为单调函数，
∴f′（x）≤0或f′（x）≥0在[1，3]上恒成立．
令f′（x）=0，即x²+2ax+5=0，则a=

-x2-5

2x

设g（x）=

-x2-5

2x

，则g′（x）=

5-x2

2x2

，
令g′（x）=0得：x=

5

或x=-

5

（舍去）
∴当1≤x≤

5

时，g′（x）≥0，当

5

≤x≤3时，g′（x）≤0
∴g（x）在（1，

5

）上递增，在（

5

，3）上递减，
∵g（1）=-3，g（3）=-

7

3

，g（

5

）=-

5

∴g（x）的最大值为g（

5

）=-

5

，最小值为g（1）=-3
∴当f′（x）≤0时，a≤g（x）_min=g（1）=-3
  当f′（x）≥0时，a≥g（x）_max=g（

5

）=-

5

∴a≤-3或a≥-

5

故选D．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，分离参数，求函数的最值是关键．