题目内容

10．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$，曲线C1、C2相交于A、B两点．
（Ⅰ）求A、B两点的极坐标；
（Ⅱ）曲线C1与直线$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数）分别相交于M，N两点，求线段MN的长度．

分析 （Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$，可得ρ=±4，即可求A、B两点的极坐标；
（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2-y2=8，直线$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入整理可得t2+4$\sqrt{3}t$-8=0，利用弦长公式求线段MN的长度．

解答 解：（Ⅰ）由ρ2cos2θ=8，曲线C2的极坐标方程为$θ=\frac{π}{6}$，可得ρ=±4，
∴A、B两点的极坐标分别为（4，$\frac{π}{6}$），（4，-$\frac{π}{6}$）；
（Ⅱ）由ρ2cos2θ=8，得直角坐标方程为x2-y2=8，
直线$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），代入整理可得t2+4$\sqrt{3}t$-8=0，
∴|MN|=$\sqrt{（-4\sqrt{3}）^{2}-4×（-8）}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查直线参数方程的运用，考查极坐标方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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19．已知集合A={x|y=$\sqrt{2-x}$}，B={x|3x-x2≥0}，则集合A∩B=（　　）
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20．若函数f（x）=-x-log2$\frac{2+ax}{2-x}$为奇函数，则使不等式f（$\frac{1}{m}$）+log26＜0成立的m的取值范围是（　　）
A．（-∞，1）B．（$\frac{1}{2}$，1）C．（-∞，0）∪（0，1）D．（1，+∞）

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