Question

18．在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），M是C₁上的动点，动点P满足OP=3OM．
（1）求动点P的轨迹C₂的参数方程；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线$θ=\frac{π}{6}$与C₁异于极点的交点为A，与C₂异于极点的交点为B，求AB．

Answer 1

分析 （1）设P（x，y），M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=3{x_0}}\\{y=3{y_0}}\end{array}}\right.$，又M的C₁上，可得$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=cosα}\\{{y_0}=1+sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），代入消去x₀，y₀即可得出．
（2）解法一：C₁的参数方程化为普通方程为x²+y²-2y=0，可得对应的极坐标方程，C₂的参数方程化为普通方程，可得对应的极坐标方程为，进而得出．
解法二：C₁的参数方程化为普通方程为x²+y²-2y=0，C₂的参数方程化为普通方程为x²+y²-6y=0，又射线$θ=\frac{π}{6}$化为普通方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（{x≥0}）$，分别联立解得交点A，B的坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．

解答 解：（1）设P（x，y），M（x₀，y₀），由$\overrightarrow{OP}$=3$\overrightarrow{OM}$，得$\left\{{\begin{array}{l}{x=3{x_0}}\\{y=3{y_0}}\end{array}}\right.$  ①，
又M的C₁上，∴$\left\{{\begin{array}{l}{{x_0}=cosα}\\{{y_0}=1+sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），②
将②代入①得$\left\{{\begin{array}{l}{x=3cosα}\\{y=3+3sinα}\end{array}}\right.$（α为参数），即为C₂的参数方程．
（2）解法一：C₁的参数方程化为普通方程为x²+y²-2y=0，
对应的极坐标方程为ρ=2sinθ，C₂的参数方程化为普通方程为x²+y²-6y=0，
对应的极坐标方程为ρ=6sinθ，
当$θ=\frac{π}{6}$时，$A（{1，\frac{π}{6}}），B（{3，\frac{π}{6}}）$，
∴|AB|=|ρ₁-ρ₂|=|1-3|=2．
解法二：C₁的参数方程化为普通方程为x²+y²-2y=0，C₂的参数方程化为普通方程为x²+y²-6y=0，
又射线$θ=\frac{π}{6}$化为普通方程为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x（{x≥0}）$，
联立C₁与射线方程解得A点直角坐标为$（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}}）$，
联立C₂与射线方程解得B点直角坐标为$（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$．
∴$|{AB}|=\sqrt{{{（{\frac{{3\sqrt{3}}}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}+{{（{\frac{3}{2}-\frac{1}{2}}）}^2}}=2$．

点评 本题考查了轨迹方程、参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、曲线交点坐标、两点之间距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．