Question

20．若函数f（x）=-x-log₂$\frac{2+ax}{2-x}$为奇函数，则使不等式f（$\frac{1}{m}$）+log₂6＜0成立的m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1）
• B． （$\frac{1}{2}$，1）
• C． （-∞，0）∪（0，1）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 利用函数f（x）=-x-log₂$\frac{2+ax}{2-x}$为奇函数，求出a，不等式f（$\frac{1}{m}$）+log₂6＜0，即不等式f（$\frac{1}{m}$）＜f（1），f（x）=-x-log₂$\frac{2+x}{2-x}$在（-2，2）上单调递减，即可求出m的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=-x-log₂$\frac{2+ax}{2-x}$为奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即x-log₂$\frac{2-ax}{2+x}$=x+log₂$\frac{2+ax}{2-x}$
∴a=1，
不等式f（$\frac{1}{m}$）+log₂6＜0，即不等式f（$\frac{1}{m}$）＜f（1），
∵f（x）=-x-log₂$\frac{2+x}{2-x}$在（-2，2）上单调递减，
∴2＞$\frac{1}{m}$＞1，
∴$\frac{1}{2}$＜m＜1，
故选B．

点评 本题考查奇函数的性质，考查函数的单调性，考查学生解不等式的能力，属于中档题．