Question

16．设M（p，0）是一定点，0＜p＜1，点A（a，b）是椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1距离M最近的点，则a=f（p）=$\frac{4p}{3}$．

Answer 1

分析 设A（2cosα，sinα）0＜α＜π，根据题意AM²=（2cosα-p）²+sin²α，换元，利用配方法，即可得出结论．

解答 解：椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，那么a=2，b=1
设A（2cosα，sinα）0＜α＜π，根据题意AM²=（2cosα-p）²+sin²α．
令y=（2cosα-p）²+sin²α=4cos²α-4pcosα+p²+sin²α=3cos²α-4pcosα+p²+1
令t=cosα，-1≤t≤1，y=3t²-4pt+p²+1=3（t-$\frac{2p}{3}$）²+1-$\frac{{p}^{2}}{3}$
∵0＜p＜1，0＜$\frac{2p}{3}$＜$\frac{2}{3}$，
当t=$\frac{2p}{3}$时，y有最小值1-$\frac{{p}^{2}}{3}$
此时cosα=$\frac{2p}{3}$，∴a=2cosα=$\frac{4p}{3}$．
故答案为：$\frac{4p}{3}$．

点评 本题考查椭圆的参数方程，考查距离公式，考查配方法的运用，属于中档题．