Question

1．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R
（1）当a=0时，求函数在（1，f（1）））处的切线方程
（2）令g（x）=f（x）-ax+1，求g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）a=0时，f（x）=lnx+x，f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
f（1）=1，f′（1）=2，
故切线方程是：y-1=2（x-1），
整理得：y=2x-1；
（2）g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x-ax+1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（-ax+1）（x+1）}{x}$，
当a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，
函数无极值；
当a＞0时，令g′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）递减，
故g（x）在x=$\frac{1}{a}$处取得极大值$\frac{1}{2a}$-lna，无极小值．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．