Question

如图，已知△ABC三个顶点是A（-1，4），B（-2，-1），C（2，3）
（1）若BC边的中间为D，求BC边中线AD所在的直线方程．
（2）过A作AE⊥BC于点E，求垂线AE所在的直线方程，求垂线AE的长度．
（3）记过点A的直线为l，若点C到直线l的距离为3，求直线的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系,两点间的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）由中点坐标公式得D的坐标，然后利用两点式的BC边中线AD所在的直线方程；
（2）由两点求斜率可得kBC=

3+1

2+2

=1，进一步得到BC边上的高线AE的斜率为-1，再由直线方程的点斜式求得
AE所在直线方程；由B（-2，-1），C（2，3）可得BC边所在直线方程，由点到直线的距离公式求得A到BC的距离；
（3）当直线斜率不存在时，直线方程为x=-1，满足C到l的距离为3；当直线斜率存在时，设出直线方程，化为一般式后由点到直线的距离公式得k，代回直线方程得答案．

解答： 解：（1）∵B（-2，-1），C（2，3），
由中点坐标公式得D（0，1），
又A（-1，4），
∴BC边中线AD所在的直线方程为

y-1

4-1

=

x-0

-1-0

，
即3x+y-1=0；
（2）由两点求斜率可得kBC=

3+1

2+2

=1，
∴BC边上的高线AE的斜率为-1，
∴AE所在直线方程为y-4=-1×（x+1），即x+y-3=0；
由B（-2，-1），C（2，3）可得BC边所在直线方程为

y+1

3+1

=

x+2

2+2

，
即x-y+1=0．
由A到BC的距离可得AE的长度为

|-1-4+1|

2

=2

2

；
（3）由题意可知，当直线斜率不存在时，直线方程为x=-1，满足C到l的距离为3；
当直线斜率存在时，设直线方程为y-4=k（x+1），即kx-y+k+4=0．
由点到直线的距离公式得

|2k-3+k+4|

k2+1

=3，解得k=

4

3

．
∴直线方程为：4x-3y+16=0．
∴满足条件的直线方程为x=-1或4x-3y+16=0．

点评：本题考查了直线的一般式方程和直线垂直的关系，考查了点到直线距离公式的应用，是基础的计算题．