Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E为PC的中点，底面BCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（1）求四棱锥P-ABCD的体积．
（2）求证：BC⊥底面PBD．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知求出S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×AD=

1

2

(1+2)×1=

3

2

，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（2）由已知得PD⊥AD，DB⊥BC，从而PD⊥BC，由此能证明BC⊥平面PBD．

解答： （1）解：在四棱锥P-ABCD中，
∵PD⊥底面ABCD，E为PC的中点，底面BCD是直角梯形，
AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
∴S_梯形ABCD=

1

2

(AB+CD)×AD=

1

2

(1+2)×1=

3

2

，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

S梯形ABCD×PD=

1

3

×

3

2

×1=

1

2

．
（2）解：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD，
在直角梯形ABCD中，BD=BC=

2

，DC=2，
∴∠CBD=90°，即DB⊥BC，
又由PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又PD∩BD=D，∴BC⊥平面PBD．

点评：本题考查四棱锥的体积的求法，考查直线与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．