Question

已知函数f（x）=

ex-1

ex+1

．
（1）判断函数f（x）的单调性，并给予证明；
（2）若f（x）＞-m²+2bm-1对所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用“分离常数法”将y=f（x）转化为f（x）=1-

2

ex+1

，利用函数单调性的定义可证明f（x）=1-

2

ex+1

为R上的增函数；
（2）利用等价转化思想，可将f（x）＞-m²+2bm-1对所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，转化为m²-2bm≥0，b∈[-1，1]恒成立，再构造函数g（b）=m²-2bm，利用g（-1）=m²+2m≥0，且g（1）=m²-2m≥0即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=

(ex+1)-2

ex+1

=1-

2

ex+1

，是R上的增函数．
设x₁＜x₂，因为e＞1，所以ex1+1＜ex2+1，
从而

2

ex1+1

＞

2

ex2+1

，
于是　1-

2

ex1+1

＜1-

2

ex2+1

，
即f（x₁）＜f（x₂），f（x）在R上是增函数．
（2）因为f（x）＞-m²+2bm-1对所有x∈R，b∈[-1，1]恒成立，而f（x）∈（-1，1），
所以-1≥-m²+2bm-1，b∈[-1，1]恒成立，
即m²-2bm≥0，b∈[-1，1]恒成立，
令g（b）=m²-2bm，b∈[-1，1]，则g（b）是单调函数，
所以，g（-1）=m²+2m≥0，且g（1）=m²-2m≥0，
解得m≥2，或m=0，或m≤-2．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，考查函数恒成立问题，（2）中，构造函数g（b）=m²-2bm，利用g（-1）=m²+2m≥0，且g（1）=m²-2m≥0确定m的取值范围是关键，也是难点与易错点，属于难题．