Question

20．已知a²-a＜2，且a∈N^*，求函数f（x）=x+$\frac{2a}{x}$的值域．

Answer 1

分析 由不等式解出a的值，代入函数f（x），利用基本不等式的性质可得值域．

解答 解：由题意：a²-a＜2，
解得：-1＜a＜2
∵a∈N^*，
∴a=1，
则函数f（x）=$x+\frac{2}{x}$，
当x＞0时，$x+\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=$2\sqrt{2}$，（当且仅当x=$\sqrt{2}$时取等号）
当x＜0时，$x+\frac{2}{x}$≤-2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=-$2\sqrt{2}$，（当且仅当x=-$\sqrt{2}$时取等号）
故得函数函数f（x）=$x+\frac{2}{x}$的值域为（-∞，$-2\sqrt{2}$]∪[$2\sqrt{2}$，+∞），

点评 本题考查了不等式的解法，利用利用基本不等式的性质求值域．属于基础题．