Question

11．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴交于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形
（1）求C的方程
（2）延长AF交抛物线于点E，过点E作抛物线的切线l₁，求证：l₁∥l．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质可知A点横坐标为FD的中点横坐标，列出方程解出p．
（2）根据|FA|=|FD|列出方程得出A，D横坐标的关系，从而得出l的斜率，设l₁方程，与抛物线方程联立，由判别式△=0得出l的截距与A点坐标的关系，求出E点坐标，利用A，F，E三点共线，即可证明结论．

解答 解：（1）抛物线的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），设D（t，0），则FD的中点为（$\frac{p+2t}{4}$，0）．
∵|FA|=|FD|，∴3+$\frac{p}{2}$=|t-$\frac{p}{2}$|，解得t=3+p或t=-3（舍）．
∵$\frac{p+2t}{4}$=3，∴$\frac{3p+6}{4}=3$，解得p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）由（1）知F（1，0），设A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m）（m≠0），D（x_D，0），
∵|FA|=|FD|，则|x_D-1|=$\frac{{m}^{2}}{4}$+1，由x_D＞0得x_D=$\frac{{m}^{2}}{4}$+2，即D（$\frac{{m}^{2}}{4}$+2，0）．
∴直线l的斜率为k_AD=-$\frac{m}{2}$．
设l₁：y=kx+n（k≠0）与抛物线相切，代入可得ky²-4y+4n=0，△=0，所以E（$\frac{1}{{k}^{2}}$，$\frac{2}{k}$），
∵A，F，E三点共线，∴m（$\frac{1}{{k}^{2}}$-1）=$\frac{2}{k}（\frac{{m}^{2}}{4}-1）$，
解得k=$\frac{2}{m}$或k=-$\frac{m}{2}$．
k=$\frac{2}{m}$，E与A重合，舍去，
∴k=-$\frac{m}{2}$，
∴l₁∥l．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．