Question

【题目】如图，在四棱锥中， 是正三角形， 是等腰三角形， ， ．

（1）求证： ；

（2）若， ，平面平面，直线与平面所成的角为45°，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）取BD中点O，连结CO，EO，推导出CO⊥BD，EO⊥BD，由此能证明BE=DE．

（2）以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值．

试题解析：

证明：（1）取BD中点O，连结CO，EO，

∵△BCD是等腰三角形，∠BCD=120°，∴CB=CD，∴CO⊥BD，

又∵EC⊥BD，EC∩CO=C，∴BD⊥平面EOC，∴EO⊥BD，

在△BDE中，∵O为BD的中点，∴BE=DE．

（2）∵平面EBD⊥平面ABCD，平面EBD∩平面ABCD=BD，

EO⊥BD，∴EO⊥平面ABCD，

又∵CO⊥BD，AO⊥BD，

∴A，O，C三点共线，AC⊥BD，

以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，

在正△ABD中，AB=2，∴AO=3，BO=DO=，

∵直线AE与平面ABD所成角为45°，∴EO=AO=3，

A（3，0，0），B（0，，0），D（0，﹣，0），E（0，0，3），

=（﹣3，，0），=（﹣3，﹣，0），=（﹣3，0，3），

设平面ABE的法向量=（a，b，c），

则，取a=1，得=（1，，1），

设平面ADE的法向量=（x，y，z），

则，取x=1，得=（1，﹣，1），

设二面角B﹣AE﹣D为θ，

则cosθ===．

∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值为．