题目内容
【题目】已知数列
， 
， 
， 
满足
，且当
时， 
，令
．
（Ⅰ）写出
的所有可能的值．
（Ⅱ）求
的最大值．
（Ⅲ）是否存在数列
，使得
？若存在，求出数列
；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
， 
， 
， 
， 
;（2）
;（3）见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)由题设可知当i=5时，可得满足条件的数列
的所有可能情况;
(Ⅱ)确定当
， 
， 
的前
项取
，后
项取
时
最大,此时
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以知道,如果
， 
， 
的前
项中恰有
项， 
， 
， 
取
， 
， 
， 
的后
项中恰有
项
， 
， 
取
,则
,利用条件,分n是奇数与偶数,即可得到结论.
试题解析：（
）有题设，满足条件的数列
的所有可能情况有：
①
， 
， 
， 
， 
，此时
；
②
， 
， 
， 
， 
，此时
；
③
， 
， 
， 
， 
，此时
；
④
， 
， 
， 
， 
，此时
；
⑤
， 
， 
， 
， 
，此时
；
⑥
， 
， 
， 
， 
，此时
．
∴
的所有可能的值为
， 
， 
， 
， 
．
（
） 由
，可设
，则
或
．
∵
，∴
．
∵
，
∴
，且
为奇数， 
， 
是由
个
和
个
构成数列．
∴
．
则当
， 
， 
的前
项取
，后
项取
时
最大，
此时
．
证明如下：
假设
， 
的前
项中恰有
项
， 
， 
取
，则
， 
， 
的后
项中恰有
项
， 
取
，其中
， 
， 
， 
， 
， 
．
∴
．
∴
的最大值为
．
（
）由（
）可知，如果
， 
， 
的前
项中恰有
项， 
， 
， 
取
， 
， 
， 
的后
项中恰有
项
， 
， 
取
，则
，若
，
则
．
∵
是奇数，∴
是奇数，而
是偶数．
∴不存在数列
，使得
．
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