题目内容
【题目】已知数列,
,
,
满足
,且当
时,
,令
.
(Ⅰ)写出的所有可能的值.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)是否存在数列,使得
?若存在,求出数列
;若不存在,说明理由.
【答案】(1),
,
,
,
;(2)
;(3)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)由题设可知当i=5时,可得满足条件的数列的所有可能情况;
(Ⅱ)确定当,
,
的前
项取
,后
项取
时
最大,此时
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可以知道,如果,
,
的前
项中恰有
项,
,
,
取
,
,
,
的后
项中恰有
项
,
,
取
,则
,利用条件,分n是奇数与偶数,即可得到结论.
试题解析:()有题设,满足条件的数列
的所有可能情况有:
①,
,
,
,
,此时
;
②,
,
,
,
,此时
;
③,
,
,
,
,此时
;
④,
,
,
,
,此时
;
⑤,
,
,
,
,此时
;
⑥,
,
,
,
,此时
.
∴的所有可能的值为
,
,
,
,
.
() 由
,可设
,则
或
.
∵,∴
.
∵,
∴,且
为奇数,
,
是由
个
和
个
构成数列.
∴
.
则当,
,
的前
项取
,后
项取
时
最大,
此时.
证明如下:
假设,
的前
项中恰有
项
,
,
取
,则
,
,
的后
项中恰有
项
,
取
,其中
,
,
,
,
,
.
∴
.
∴的最大值为
.
()由(
)可知,如果
,
,
的前
项中恰有
项,
,
,
取
,
,
,
的后
项中恰有
项
,
,
取
,则
,若
,
则.
∵是奇数,∴
是奇数,而
是偶数.
∴不存在数列,使得
.
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