题目内容
【题目】设函数,其中
为自然对数的底数.
(1)若曲线在
轴上的截距为
,且在点
处的切线垂直于直线
,求实数
的值;
(2)记的导函数为
,
在区间
上的最小值为
,求
的最大值.
【答案】(1) 的值分别为1,
;(2)
.
【解析】试题分析:(1)先利用曲线在
轴上的截距为
求得
,再求导,利用导数的几何意义进行求解;(2)连续求导,得到
,再通过分类讨论思想讨论
的取值,研究函数
在区间
的单调性和最小值,得到分段函数
,则通过求导确定
的最小值.
试题解析:(1)曲线在
轴上的截距为
,则过点
,代入
,
则,则
,求导
,
由,即
,则
,
∴实数的值分别为1,
;
(2),
,
,
①当时,∵
,∴
恒成立,
即,
在
上单调递增,
∴.
②当时,∵
,∴
恒成立,
即,
在
单调递减,
∴.
③当时,
,得
,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,
∴,
∴当时,
,
当时,
,求导,
,
由时,
,
∴单调通减,
,
当时,
,单调递减,
,
∴的最大值
.
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