Question

19．已知a＞0，则“关于x的方程ax=b解集为{x₀}”的充要条件的序号是③．
①存在x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀
②存在x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≤$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀
③任意x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀
④任意x∈R，$\frac{1}{2}$ax²-bx≤$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀．

Answer 1

分析 a＞0，则“关于x的方程ax=b解集为{x₀}”，可得x₀=$\frac{b}{a}$．对于任意x∈R，作差$\frac{1}{2}$ax²-bx-（$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀）=$\frac{a}{2}$$（x-\frac{b}{a}）^{2}$，即可判断出结论．

解答 解：a＞0，则“关于x的方程ax=b解集为{x₀}”，可得x₀=$\frac{b}{a}$．
对于任意x∈R，则$\frac{1}{2}$ax²-bx-（$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀）=$\frac{a}{2}$$（x-\frac{b}{a}）^{2}$≥0，即$\frac{1}{2}$ax²-bx≥$\frac{1}{2}$ax₀²-bx₀，
∴a＞0，则“关于x的方程ax=b解集为{x₀}”的充要条件的序号是③．
故答案为：③．

点评 本题考查了不等式的解法、充要条件的判定方法、作差法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．