Question

2．已知F₁，F₂分别是椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，M，N分别为其左右顶点．过F₂的直线l与椭圆相交于A，B两点．当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|．
（1）求此椭圆的方程；
（2）当直线l绕着焦点F₂旋转不与x轴重合时，求$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AN}$+$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BN}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当直线l与x轴垂直时，由s_AMBN=$\frac{1}{2}•2a•\frac{2{b}^{2}}{a}=2$，得b．
又|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|，所以a+c=$\sqrt{2}•\frac{2{b}^{2}}{a}+a-c$，即ac=$\sqrt{2}$，又a²=c²+1，解得a即可．
（2）设A，（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而M（-$\sqrt{2}$，0），N（$\sqrt{2}$，0）
所以$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{AN}=（\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{BM}=（-\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，$\overrightarrow{BN}=（\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$．从而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$（-\sqrt{2}-{x}_{1}）（\sqrt{2}-{x}_{1}）+（-\sqrt{2}-{x}_{2}）（\sqrt{2}-{x}_{2}）$+${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-4$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂-4．再利用韦达定理及函数的值域即可．

解答 解：（1）当直线l与x轴垂直时，由s_AMBN=$\frac{1}{2}•2a•\frac{2{b}^{2}}{a}=2$，得b=1．
又|$\overrightarrow{M{F}_{2}}$|=$\sqrt{2}$|$\overrightarrow{AB}$|+|$\overrightarrow{{F}_{2}N}$|，所以a+c=$\sqrt{2}•\frac{2{b}^{2}}{a}+a-c$，即ac=$\sqrt{2}$，又a²=c²+1，
解得a=$\sqrt{2}$．因此该椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设A，（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而M（-$\sqrt{2}$，0），N（$\sqrt{2}$，0）
所以$\overrightarrow{AM}=（-\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，$\overrightarrow{AN}=（\sqrt{2}-{x}_{1}，-{y}_{1}）$，
$\overrightarrow{BM}=（-\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$，$\overrightarrow{BN}=（\sqrt{2}-{x}_{2}，-{y}_{2}）$．
从而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$（-\sqrt{2}-{x}_{1}）（\sqrt{2}-{x}_{1}）+（-\sqrt{2}-{x}_{2}）（\sqrt{2}-{x}_{2}）$+${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$
=${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}-4$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂+（y₁+y₂）²-2y₁y₂-4．
因为直线l过椭圆的焦点（1，0），所以可以设直线l的方程为x=ty+1 （t∈R），则
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\\{x=ty+1}\end{array}\right.$消去x并整理，得（t²+2）y²+2ty-1=0，
所以y₁+y₂=$\frac{-2t}{{t}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{t}^{2}+2}$．
进而x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=$\frac{4}{{t}^{2}+2}$，x₁x₂=（ty₁+1）（ty₂+1）=$\frac{2-2{t}^{2}}{{t}^{2}+2}$，
可得有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$\frac{8}{（{t}^{2}+2）^{2}}-\frac{6}{{t}^{2}+2}$
令t²+2=m，则m≥2．从而有$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$=$\frac{8}{{m}^{2}}-\frac{6}{m}=8（\frac{1}{m}-\frac{3}{8}）^{2}-\frac{9}{8}$，
而0＜$\frac{1}{m}≤\frac{1}{2}$，所以求得$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BM}•\overrightarrow{BN}$的取值范围是[-$\frac{9}{8}$，0]．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，韦达定理，向量运算等运算能力，属于中档题．