Question

15．已知过定点P（-4，0）的直线l与曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积最大时，直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• D． $\frac{\sqrt{14}}{4}$

Answer 1

分析 由曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$表示在x轴上方以及含与x轴的交点半圆，设出直线l的方程，利用△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，求出圆心O到直线l的距离d=$\sqrt{2}$，从而求出直线的斜率k．

解答 解：由y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$得x²+y²=4（y≥0），
∴曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$表示圆x²+y²=4在x轴上方的部分（含与x轴的交点）；
由题知，直线的斜率存在，设直线l的斜率为k（k＞0），
则直线方程为y=k（x+4），即kx-y+4k=0，
当△AOB的面积取最大值时，OA⊥OB，
此时圆心O到直线l的距离d=$\sqrt{2}$，如图所示；

∴d=$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=$\frac{\sqrt{7}}{7}$．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用问题，解题的关键是根据△AOB的面积取到最大值时OA⊥OB，是中档题．