Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）焦点坐标分别为(-

2

，0)，(

2

，0)，离心率e=

6

3

；
（2）长轴长是短轴长的2倍，且经过点P（2，-6）．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可知焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由题意得c=2，e=

c

a

=

6

3

，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），由已知得a=2b，且椭圆过点（2，-6），由此能求出椭圆方程．

解答： 解：（1）由题意可知焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由题意得c=2，e=

c

a

=

6

3

，
解得a=

3

，b2=3-2=1，
∴椭圆的标准方程为

x2

3

+y2=1．
（2）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1或

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得a=2b，且椭圆过点（2，-6），
∴

4

a2

+

36

b2

=1或

36

a2

+

4

b2

=1，
解得a²=148，b²=37或a²=52，b²=13，
∴所求的椭圆方程为

x2

148

+

y2

37

=1或

y2

52

+

x2

13

=1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．