题目内容
已知函数f（x）的定义域为D，若存在区间[a，b]⊆D，使得f（x）满足：
（1）f（x）在[a，b]上是单调函数；
（2）f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“理想区间”，给出下列命题：
①函数f（x）=log3x不存在“理想区间”；
②函数f（x）=2x存在“理想区间”；
③函数f（x）=x2-3（x≥0）不存在“理想区间”；
④函数f（x）=
（x≥0）存在“理想区间”．其中真命题的是 （填上所有真命题的序号）
（1）f（x）在[a，b]上是单调函数；
（2）f（x）在[a，b]上的值域是[2a，2b]，则称区间[a，b]是函数f（x）的“理想区间”，给出下列命题：
①函数f（x）=log3x不存在“理想区间”；
②函数f（x）=2x存在“理想区间”；
③函数f（x）=x2-3（x≥0）不存在“理想区间”；
④函数f（x）=
| 8x |
| x2+1 |
考点：函数单调性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由条件利用新定义、函数的单调性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解答：
解：①函数f（x）=log3x递增，且f（x）=log3x过原点的切线斜率为
，∵
＜2，∴log3x=2x无实根，
∴不存在“理想区间”，故该命题为真；
②函数f（x）=2x递增，且f（x）=2x过原点的切线斜率为
，
∵
=eln2＜2.8×0.7=1.96＜2，∴2x=2x有两个不等根，
故此函数存在“理想区间”，故该命题为真；
③函数f（x）=x2-3（x≥0）递增，当x2-3=2x，即x2-2x-3=0时，求得x=3或x=1，
在x≥0上有一个根，∴此函数不存在“理想区间”，故该命题为真；
④函数f（x）=
=
，在[0，1）递增，（1，+∞）递减，而
=2x的两根为0、
，
在单调区间上只有一个根，不存在“理想区间”，故该命题为假．
故答案为：①②③．
| log3e |
| e |
| log3e |
| e |
∴不存在“理想区间”，故该命题为真；
②函数f（x）=2x递增，且f（x）=2x过原点的切线斜率为
| e |
| log2e |
∵
| e |
| log2e |
故此函数存在“理想区间”，故该命题为真；
③函数f（x）=x2-3（x≥0）递增，当x2-3=2x，即x2-2x-3=0时，求得x=3或x=1，
在x≥0上有一个根，∴此函数不存在“理想区间”，故该命题为真；
④函数f（x）=
| 8x |
| x2+1 |
| 8 | ||
x+
|
| 8x |
| x2+1 |
| 3 |
在单调区间上只有一个根，不存在“理想区间”，故该命题为假．
故答案为：①②③．
点评：本题主要考查函数的单调性的应用，体现了转化的数学思想，属于基础题．
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|
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•
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| 3 |
| 3 |
| z1 |
| z2 |
| A、8 | ||
| B、-4i | ||
C、4
| ||
D、4
|
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，b=
，c=
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| 36 |
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