Question

已知数列{a_n}前项和S_n且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N^*）
（1）试求a₂，a₃，a₄
（2）猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明猜想．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由题意，计算可得a₂，a₃，a₄
（2）猜想an=

2

n(n+1)

，再用数学归纳法证明猜想．

解答： 解：（1）由题意，计算可得a2=

1

3

，a3=

1

6

，a4=

1

10

（2）猜想an=

2

n(n+1)

证明如下：当n=1时，a₁=

2

1×2

=1，命题成立
假设当n=k（k∈N^*）时命题成立，即ak=

2

k(k+1)

当n=k+1时Sk+1=(k+1)2ak+1=SK+ak+1=k2ak+ak+1
整理得a k+1=

2

(k+1)(k+2)

所以当n=k+1时命题也成立
综上，n∈N*时有an=

2

n(n+1)

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．