Question

已知函数f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．若x∈[0，2]时，f（x）≥a²（1-x）恒成立．则实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：首先根据条件对不等式进行变形，整理成x²+1≥（-a²+2a+1）x，进一步进行分类讨论，利用基本不等式求出结果．

解答： 解：函数f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．若x∈[0，2]时，f（x）≥a²（1-x）恒成立
则：x²-2（a+1）x+a²+1≥a²（1-x）
整理得：x²+1≥（-a²+2a+1）x，
①当x=0时，上式恒成立．
②当0＜x≤2时，-a2+2a+2≤x+

1

x

．
∵x+

1

x

≥2，（x=1 时取等）
∴-a²+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
综上：a≤0或a≥2
故答案为：a≤0或a≥2

点评：本题考查的知识要点：分离参数法的应用，基本不等式的应用，属于基础题型．