Question

9．已知函数f（x）=x³-3ax-1，（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在x=-1处取得极值，直线y=m与y=f（x）的图象有且只有一个交点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，计算f′（-1）=3，求出a的值，关键函数的单调性求出函数的极值，画出函数的图象，从而求出m的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
∴当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）；
当a＞0时，由f′（x）＞0，解得x＜-$\sqrt{a}$或x＞$\sqrt{a}$．
由f′（x）＜0，解得-$\sqrt{a}$＜x＜$\sqrt{a}$，
∴当a＞0时，f（x）的单调增区间为（-∞，-$\sqrt{a}$），（$\sqrt{a}$，+∞），单调减区间为（-$\sqrt{a}$，$\sqrt{a}$）．
（2）∵f（x）在x=-1处取得极值，
∴f′（-1）=3（-1）²-3a=0，∴a=1．
∴f（x）=x³-3x-1，f′（x）=3x²-3，
由f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，
f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3，
∵直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，
结合如图所示f（x）的图象可知：

实数m的取值范围是（-∞，-3）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．