Question

已知函数f（x）=（x-1）²+alnx，a∈R．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求证：“0＜a＜

4

9

”是函数f（x）有三个零点的必要条件．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数结合二次函数的性质判断函数的单调性，求得单调区间；
（2）根据必要条件的定义及函数的零点的判断方法，利用导数判断函数的零点情况即可得出结论．

解答： 解：∵f（x）=（x-1）²+alnx，a∈R．
∴f′（x）=2（x-1）+

a

x

=

2x2-2x+a

x

（x＞0），
当△≤0，即a≥

1

2

时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当△＞0，且a≤0，即a≤0时，由f′（x）=0得x=

1+ 1-2a

2

，
∴f（x）在（0，

1+ 1-2a

2

）单调递减，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）单调递增；
当△＞0，a＞0，即0＜a＜

1

2

时，由f′（x）=0得x=

1± 1-2a

2

，
∴f（x）在（0，

1- 1-2a

2

）递增，在（

1- 1-2a

2

，

1+ 1-2a

2

）递减，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）递增；
（2）由（1）知，函数f（x）有三个零点，则必有0＜a＜

1

2

，即f（x）在（0，

1- 1-2a

2

）递增，
在（

1- 1-2a

2

，

1+ 1-2a

2

）递减，在（

1+ 1-2a

2

，+∞）递增；
∵x→0，f（x）→-∞，且f（1）=0（1＞

1+ 1-2a

2

），故函数有三个零点，必有f（

1- 1-2a

2

）＞0，
令x₁=

1- 1-2a

2

，2x₁-2

x

2 1

=a（0＜x₁＜

1

2

），
f（x₁）=（x₁-1）²+alnx₁=（x₁-1）²+（2x₁-2

x

2 1

）lnx₁=（1-x₁）（1-x₁+2x₁lnx₁），
令g（x）=1-x+2xlnx（0＜x＜

1

2

），
g′（x）=2lnx+1，g′（x）=0，x=

1

e

＞

1

2

，
∴g（x）在（0，

1

2

）递减，又g（

1

e2

）＞0，g（

1

3

）＜0，
∴存在x₀，使g（x₀）=0，且0＜x₀＜

1

3

，
∴f（x₁）＞0?0＜x₁＜x₀，∴0＜x₁＜

1

3

，
∴由a=2x₁-2

x

2 1

=-2(x1-

1

2

)2+

1

2

，
∴0＜a＜2×

1

3

-2×（

1

3

）²=

4

9

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性、判断函数零点的情况及必要条件的证明等知识，考查学生的划归转化思想及分类讨论思想的运用能力、运算能力，属难题．