题目内容
已知公比为q（q≠1）的无穷等比数列{an}的首项a1=1．
（1）若q=
，在a1与a2之间插入k个数b1，b2，…，bk，使得a1，b1，b2，…，bk，a2，a3成等差数列，求这k个数；
（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）当且仅当q取何值时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．
（1）若q=
| 1 |
| 3 |
（2）对于任意给定的正整数m，在a1，a2，a3的a1与a2和a2与a3之间共插入m个数，构成一个等差数列，求公比q的所有可能取值的集合（用m表示）；
（3）当且仅当q取何值时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列？并求c1的所有可能值的集合及{cn}的通项公式（用q表示）．
考点：数列的应用
专题：压轴题,等差数列与等比数列
分析：（1）由条件得1，b1，b2，…bk，
，
成等差数列，求出公差d=-
，k=2，即可求这2个数；
（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a2与a3之间插入（m-k）个数，由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+3项为a2=q2，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
| 2 |
| 9 |
（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a2与a3之间插入（m-k）个数，由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+3项为a2=q2，列出方程，即可求公比q的所有可能取值的集合；
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列，再进行证明即可．
解答：
解：（1）由条件得1，b1，b2，…bk，
，
成等差数列，
所以公差d=-
，k=2，
所以这2个数为：b1=
，b2=
； …（2分）
（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a2与a3之间插入（m-k）个数，
由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+3项为a2=q2，
所以
=
，q≠1，
所以q=
，且 k≠
；
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=
，k∈N，k≤m且k≠
}；…（6分）
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列；
证明如下：
（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件； …（8分）
（ii） 若在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{bn}，则对于任意的k∈N*，都有
=
，
即
=
，q≠1且q≠0，
所以q=
，ck+1，ck∈N，
所以q为正有理数，{an}为正项无穷等比数列，
若q不为整数，不妨设q=
，其中p，t∈N*，p与t互质，且p≥2，
等差数列{bn}的公差为d=
=
，通项为bn=1+（n-1）
；
则数列{（c1+1）pbn}的各项都为整数，
则对于任意的n∈N*，（c1+1）p an∈N*，
即对于任意的n∈N*，（c1+1）p（
）n-1∈N*，
即于任意的n∈N*，由p与t互质，则（c1+1）p都能被pn-1整除，p≥2，且p∈N*，
这是不可能的，
所以q为正整数，又q≠1，
所以q∈N，且q≥2； …（12分）
当q∈N，且q≥2时，
对于首项为1，第（c1+1）项为q的等差数列{bn}，则公差d=
，
令an=bm，即q n-1=1+（m-1）
（n∈N*），
有m=（c1+1）
+1∈N*，
所以an是{bn}中的第[（c1+1）
+1]项，
所以c1的所有可能值的集合是自然数集N； …（14分）
对于任意的自然数c1，
由
=q，q∈N，n∈N*且q≥2知{cn+1}是首项为c1+1，公比为q的等比数列，
所以{cn}的通项公式为cn=（c1+1）qn-1-1． …（16分）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 9 |
所以公差d=-
| 2 |
| 9 |
所以这2个数为：b1=
| 7 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
（2）设a1与a2之间插入k个数，k∈N，且k≤m，则在a2与a3之间插入（m-k）个数，
由条件这等差数列第一项为a1=1，第k+2项为a2=q，第m+3项为a2=q2，
所以
| q-1 |
| k+1 |
| q2-q |
| m-k+1 |
所以q=
| m-k+1 |
| k+1 |
| m |
| 2 |
所以公比q的所有可能的取值的集合{ q|q=
| m-k+1 |
| k+1 |
| m |
| 2 |
（3）当且仅当q∈N，且q≥2时，在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列；
证明如下：
（i）当q∈N，且q≥2时，新构成的等差数列可以是正整数数列1，2，3，…，显然满足条件； …（8分）
（ii） 若在数列{an}的每相邻两项ak，ak+1之间插入ck（k∈N*，ck∈N）个数，使之成为一个等差数列，这个等差数列设为{bn}，则对于任意的k∈N*，都有
| ak+1-ak |
| ck+1 |
| ak+2-ak+1 |
| ck+1+1 |
即
| qk-qk-1 |
| ck+1 |
| qk+1-qk |
| ck+1+1 |
所以q=
| ck+1+1 |
| ck+1 |
所以q为正有理数，{an}为正项无穷等比数列，
若q不为整数，不妨设q=
| t |
| p |
等差数列{bn}的公差为d=
| p |
| c1+1 |
| t-p |
| (c1+1)p |
| t-p |
| (c1+1)p |
则数列{（c1+1）pbn}的各项都为整数，
则对于任意的n∈N*，（c1+1）p an∈N*，
即对于任意的n∈N*，（c1+1）p（
| t |
| p |
即于任意的n∈N*，由p与t互质，则（c1+1）p都能被pn-1整除，p≥2，且p∈N*，
这是不可能的，
所以q为正整数，又q≠1，
所以q∈N，且q≥2； …（12分）
当q∈N，且q≥2时，
对于首项为1，第（c1+1）项为q的等差数列{bn}，则公差d=
| q-1 |
| c1+1 |
令an=bm，即q n-1=1+（m-1）
| q-1 |
| c1+1 |
有m=（c1+1）
| qn-1-1 |
| q-1 |
所以an是{bn}中的第[（c1+1）
| qn-1-1 |
| q-1 |
所以c1的所有可能值的集合是自然数集N； …（14分）
对于任意的自然数c1，
由
| cn+1+1 |
| cn+1 |
所以{cn}的通项公式为cn=（c1+1）qn-1-1． …（16分）
点评：本题考查的是数列的应用，考查等差数列与等比数列的综合，考查反证法思想的运用，难度大，学生很难解决．
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