题目内容
已知函数f（x）=x4+ax3+bx+c（a，b，c∈R），g（x）=f′（x）且g（0）=g（1）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若任意x1、x2∈[0，1]且x2＞x1，求证：|g（x2）-g（x1）|＜8|x2-x1|；
（Ⅲ）当b≤
时，请判断曲线f（x）的所有切线中，斜率λ为正数时切线的条数，并说明理由．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若任意x1、x2∈[0，1]且x2＞x1，求证：|g（x2）-g（x1）|＜8|x2-x1|；
（Ⅲ）当b≤
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考点：利用导数求闭区间上函数的最值,导数的运算,利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：（Ⅰ）求函数的导数，利用g（0）=g（1），建立方程关系，即可求实数a的值；
（Ⅱ）利用作差法求出g（x2）-g（x1）的范围，利用不等式的性质即可证明|g（x2）-g（x1）|＜8|x2-x1|；
（Ⅲ）构造函数，利用导数和函数单调性之间的关系，即可得到结论．
（Ⅱ）利用作差法求出g（x2）-g（x1）的范围，利用不等式的性质即可证明|g（x2）-g（x1）|＜8|x2-x1|；
（Ⅲ）构造函数，利用导数和函数单调性之间的关系，即可得到结论．
解答：
（Ⅰ）证明：∵g（x）=f′（x）=4x3+2ax+b，g（0）=g（1），
∴a=-2，g（x）=4x3-4x+b，
（Ⅱ）由g（x）=4x3-4x+b，
∴|g（x2）-g（x1）|=4|（x2-x1）（x22+x1x2+x12-1）|，
∵x1、x2∈[0，1]且x2＞x1，
∴-1＜x22+x1x2+x12-1＜2，|x22+x1x2+x12-1）|＜2，
∴|g（x2）-g（x1）|＜8|x2-x1|；
（Ⅱ）f′（x）=4x3-4x+b，令4x3-4x+b=λ，
下面讨论方程4x3-4x+b=λ的实根情况：
设m（x）=4x3-4x+b-λ，（-1≤x≤1），
由m′（x）=12x2-4=0，有x1=-
，x2=
，
∵-1≤x＜-
时，m′（x）＞0，-
＜x＜
时m′（x）＜0，
＜x≤1时，m′（x）＞0
∴[-1，-
），（
，1]为m（x）的单调递增区间，（-
，
）为m（x）的单调递
减区间 …（10分）
∵m（-
）=-
+b-λ，b≤
，λ＞0，
∴m（-
）＜0，
∵m（1）=b-λ=m（-1），[-1，-
）为m（x）的单调递增区间且m（-
）＜0，
∴m（1）=m（-1）＜0，
∵（
，1]为m（x）的单调递增区间，（-
，
）为m（x）的单调递减区间，
∴m（x）=4x3-4x+b-λ在[-1，1]上没有零点，即曲线f（x）的所有切线中，斜率λ 为正数时切线的条数为零…（14分）（理科）
∵x＜-
时，m′（x）＞0，-
＜x＜
时，m′（x）＜0，x＞
，时m′（x）＞0
∴（-∞，-
），（
，+∞）为m（x）的单调递增区间，（-
，
）为m（x）的单调递
减区间 …（10分）
∵m（-
）=-
+b-λ，b≤
，λ＞0，
∴m（-
）＜0---------（12分）
∵x→+∞时，m（x）=4x3-4x+b-λ→+∞，
又 （-∞，-
），（
，+∞）为m（x）的单调递增区间，（-
，
）为m（x）的单调递
减区间，
∴m（x）=4x3-4x+b-λ在R上有且只有一个零点，即有且只有一条切线满足条件的切线…（14分）
∴a=-2，g（x）=4x3-4x+b，
（Ⅱ）由g（x）=4x3-4x+b，
∴|g（x2）-g（x1）|=4|（x2-x1）（x22+x1x2+x12-1）|，
∵x1、x2∈[0，1]且x2＞x1，
∴-1＜x22+x1x2+x12-1＜2，|x22+x1x2+x12-1）|＜2，
∴|g（x2）-g（x1）|＜8|x2-x1|；
（Ⅱ）f′（x）=4x3-4x+b，令4x3-4x+b=λ，
下面讨论方程4x3-4x+b=λ的实根情况：
设m（x）=4x3-4x+b-λ，（-1≤x≤1），
由m′（x）=12x2-4=0，有x1=-
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∵-1≤x＜-
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减区间 …（10分）
∵m（-
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∵m（1）=b-λ=m（-1），[-1，-
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∴m（1）=m（-1）＜0，
∵（
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∴m（x）=4x3-4x+b-λ在[-1，1]上没有零点，即曲线f（x）的所有切线中，斜率λ 为正数时切线的条数为零…（14分）（理科）
∵x＜-
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减区间 …（10分）
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∵x→+∞时，m（x）=4x3-4x+b-λ→+∞，
又 （-∞，-
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减区间，
∴m（x）=4x3-4x+b-λ在R上有且只有一个零点，即有且只有一条切线满足条件的切线…（14分）
点评：本题主要考查导数和函数单调性之间的关系，以及利用导数证明不等式，考查学生的计算能力，综合性较强，运算量较大．
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