题目内容
17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a∈N*）的两个焦点为F1，F2，P为该双曲线上一点，满足|F1F2|2=|PF1|•|PF2|，P到坐标原点O的距离为d，且5＜d＜7，则a2=4．分析 求得双曲线的b，c，设P为右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，运用双曲线的定义，结合条件，由两点的距离公式，解不等式可得a的正整数解．
解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的b=2，c2=a2+4，
设P为右支上一点，|PF1|=m，|PF2|=n，
由双曲线的定义可得m-n=2a，
由题意可得4c2=mn，
m2+n2=2c2+2d2，
可得（m-n）2+2mn=4a2+8c2=2c2+2d2
又d2∈（25，49），
即25＜5a2+12＜49，
由a为正整数，可得a=2，
故答案为：4．
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
11．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=2，（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=6，则$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角为（ ）
| A． | $\frac{π}{6}$ | B． | $\frac{π}{4}$ | C． | $\frac{π}{3}$ | D． | $\frac{2π}{3}$ |
如图，在△ABC中，AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，点D在线段BC上．
2．设a=tan$\frac{π}{7}$，b=$\frac{π}{7}$，c=sin$\frac{π}{7}$，则a，b，c的大小关系是（ ）
| A． | c＞b＞a | B． | b＞c＞a | C． | a＞c＞b | D． | a＞b＞c |
9．将函数y=sinx的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象，则（ ）
| A． | ω=2，φ=-$\frac{π}{6}$ | B． | ω=2，φ=-$\frac{π}{3}$ | C． | ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{6}$ | D． | ω=$\frac{1}{2}$，φ=-$\frac{π}{3}$ |