Question

5．设a为实数，函数f（x）=x³-x²-x+a，若函数f（x）过点A（1，0），求函数在区间[-1，3]上的最值．

Answer 1

分析 由题意可得f（1）=1-1-1+a=0，从而化简f（x）=x³-x²-x+1，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），从而判断函数的单调性再求最值即可．

解答 解：∵函数f（x）过点A（1，0），
∴f（1）=1-1-1+a=0，
∴a=1，
∴f（x）=x³-x²-x+1，f′（x）=3x²-2x-1=（3x+1）（x-1），
∴f（x）在[-1，-$\frac{1}{3}$]上是增函数，在[-$\frac{1}{3}$，1]上是减函数，
在[1，3]上是增函数；
而f（-1）=-1-1+1+1=0，
f（-$\frac{1}{3}$）=-$\frac{1}{27}$-$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}$+1=1+$\frac{5}{27}$=$\frac{32}{27}$，
f（1）=0，
f（3）=27-9-3+1=16，
故函数f（x）的最大值为16，最小值为0．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了导数的综合应用，属于中档题．