Question

7．如图，在△ABC中，AB=2，cosB=$\frac{1}{3}$，点D在线段BC上．
（1）若∠ADC=$\frac{3}{4}$π，求AD的长；
（2）若BD=2DC，△ACD的面积为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$的值．

Answer 1

分析 （1）△ABD中，由正弦定理可得AD的长；
（2）利用BD=2DC，△ACD的面积为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，利用正弦定理可得结论．

解答 解：（1）∵△ABC中，cosB=$\frac{1}{3}$，∴sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
∵∠ADC=$\frac{3}{4}$π，∴∠ADB=$\frac{π}{4}$．
△ABD中，由正弦定理可得$\frac{AD}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，∴AD=$\frac{8}{3}$；
（2）设DC=a，则BD=2a，
∵BD=2DC，△ACD的面积为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，
∴4$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}×2×3a×\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2
∴AC=$\sqrt{4+36-2×2×6×\frac{1}{3}}$=4$\sqrt{2}$，
由正弦定理可得$\frac{4}{sin∠BAD}=\frac{2}{sin∠ADB}$，∴sin∠BAD=2sin∠ADB．
$\frac{2}{sin∠CAD}$=$\frac{4\sqrt{2}}{sin∠ADC}$，∴sin∠CAD=$\frac{\sqrt{2}}{4}$sin∠ADC，
∵sin∠ADB=sin∠ADC，
∴$\frac{sin∠BAD}{sin∠CAD}$=4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦、余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．