Question

已知函数f（x）=

1-|x-1|   ，x∈[0，2] 1 2 f(x-2)，x∈(2，+∞)

，若x＞0时，f（x）≤

k

x

恒成立，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：作出函数f（x）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 作出函数f（x）的图象如图，
则f（1）=1，f（3）=

1

2

f(1)=

1

2

，f（5）=

1

2

f（3）=

1

4

f(1)=

1

4

，
f（7）=

1

2

f(5)=

1

2

×

1

4

=

1

8

，
要使x＞0时，f（x）≤

k

x

恒成立，
则f（1）≤k，且f（3）≤

k

3

，f（5）≤

k

5

，f（7）≤

k

7

，…，
即1≤k，且

1

2

≤

k

3

，

1

4

≤

k

5

，

1

8

≤

k

7

，…，
则

k≥1 k≥ 3 2 k≥ 5 4 k≥ 7 8

，解得k≥

3

2

，
即实数k的取值范围是[

3

2

，+∞），
故答案为：[

3

2

，+∞）

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，作出函数f（x）的图象，利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．