Question

已知α为锐角，且tanα=

2

-1，函数f（x）=2x•tan2α+sin（2α+

π

4

），数列{a_n}的首项a₁=1，a_n+1=f（

1

2

a_n）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,平面向量数量积的运算

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，求出2α=

π

4

，由此推导出f（x）=2x+1．
（2）由已知条件推导出a_n+1=a_n+1，所以{a_n}是首项为a₁=1，公差d=1的等差数列，由此能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）由tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2( 2 -1)

1-( 2 -1)2

=1，
∵α是锐角，∴2α=

π

4

．…（4分）
∴sin（2α+

π

4

）=1，∴f（x）=2x+1．…（6分）
（2）∵a₁=1，an+1=f(

1

2

an)，∴a_n+1=a_n+1，
∴a_n+1-a_n=1，（常数） …（8分）
∴{a_n}是首项为a₁=1，公差d=1的等差数列，
∴a_n=n，…（10分）
∴Sn=

n(n+1)

2

．…（12分）

点评：本题考查函数表达式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，是中档题．