Question

18．已知函数$f（x）=|\overrightarrow{MP}-x\overrightarrow{MN}|（x∈R）$，其中MN是半径为4的圆O的一条弦，P为单位圆O上的点，设函数f（x）的最小值为t，当点P在单位圆上运动时，t的最大值为3，则线段MN的长度为（　　）

• A． $4\sqrt{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 设x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，函数f（x）的最小值化为点P到直线MN的距离，
结合图形求出t_max=3时MN的长度．

解答 解：设x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
则函数f（x）=|$\overrightarrow{MP}$-x$\overrightarrow{MN}$|=|$\overrightarrow{MP}$-$\overrightarrow{MA}$|=|$\overrightarrow{AP}$|，其中P为单位圆O上的点，
∵x$\overrightarrow{MN}$=$\overrightarrow{MA}$，
∴点A在直线MN上；
∴函数f（x）的最小值t为点P到直线MN的距离，
当t_max=3时，如图所示；

线段MN的长度为|MN|=2$\sqrt{{4}^{2}{-（3-1）}^{2}}$=4$\sqrt{3}$．
故选：A．

点评 本题考查了向量知识的运用问题，也考查了转化思想与数形结合的应用问题，是综合题．