Question

13．根据预测，某地第n（n∈N^*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a_n和b_n（单位：辆），其中a_n=$\left\{\begin{array}{l}5{n^4}+15{，_{\;}}1≤n≤3\\-10n+470{，_{\;}}n≥4\end{array}$，b_n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．
（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；
（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S_n=-4（n-46）²+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

Answer 1

分析 （1）计算出{a_n}和{b_n}的前4项和的差即可得出答案；
（2）令a_n≥b_n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．

解答 解：（1）∵a_n=$\left\{\begin{array}{l}5{n^4}+15{，_{\;}}1≤n≤3\\-10n+470{，_{\;}}n≥4\end{array}$，b_n=n+5
∴a₁=5×1⁴+15=20
a₂=5×2⁴+15=95
a₃=5×3⁴+15=420
a₄=-10×4+470=430
b₁=1+5=6
b₂=2+5=7
b₃=3+5=8
b₄=4+5=9
∴前4个月共投放单车为a₁+a₂+a₃+a₄=20+95+420+430=965，
前4个月共损失单车为b₁+b₂+b₃+b₄=6+7+8+9=30，
∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965-30=935．
（2）令a_n≥b_n，显然n≤3时恒成立，
当n≥4时，有-10n+470≥n+5，解得n≤$\frac{465}{11}$，
∴第42个月底，保有量达到最大．
当n≥4，{a_n}为公差为-10等差数列，而{b_n}为等差为1的等比数列，
∴到第42个月底，单车保有量为$\frac{{a}_{4}+{a}_{42}}{2}$×39+535-$\frac{{b}_{1}+{b}_{42}}{2}$×42=$\frac{430+50}{2}$×39+535-$\frac{6+47}{2}$×42=8782．
S₄₂=-4×16+8800=8736．
∵8782＞8736，
∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．

点评 本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．