Question

在△ABC中，a，b，分别为内角A，B，C的对边，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大小；  
（2）若a=4，求b+c的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，利用余弦定理表示出cosA，将得出关系式代入求出cosA的值，即可确定出A的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出b+c的最大值即可．

解答： 解：（1）将2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理化简得：2a²=2（b+c）b+（2c+b）c，
整理得：b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
则A=120°；
（2）∵a=4，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²+bc，
∴（b+c）²-16=bc≤（

b+c

2

）²，
∴b+c≤

8 3

3

，当且仅当b=c时，等号成立，
则b+c的最大值为

8 3

3

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．