Question

已知函数y=lg（-x²+4x-3）的定义域为M，求函数f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域．

Answer 1

考点：函数的值域,函数的定义域及其求法

专题：函数的性质及应用

分析：先求出M={x|1＜x＜3}，再求出2＜2^x＜8，利用换元法得f（t）=（t-4）²-12，（2＜t＜8），从而求出函数f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域．

解答： 解：∵-x²+4x-3＞0，
∴1＜x＜3，
∴M={x|1＜x＜3}；
∴2＜2^x＜8，
f（x）=4^x-2^x+3+4
=（2^x）²-8•2^x+4，
令t=2^x，∴2＜t＜8，
∴f（t）=（t-4）²-12，（2＜t＜8），
∴f（t）_min=-12，f（t）_max＜f（8）=4，
∴函数f（x）=4^x-2^x+3+4（x∈M）的值域是：[-12，4）．

点评：本题考查了对数函数的性质，考查函数的值域问题，考查二次函数的性质，是一道综合题．