Question

设x，y满足

x-y+5≥0 x+y≥0 x≥3

求
（1）z=x²+y²的最大值和最小值
（2）z=

y

x-5

的最大值和最小值
（3）z=|2x-y+4|的最大值和最小值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：

分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用x²+y²的几何意义求最小值．
（2）直线的斜率的最值求解即可．
（3）根据点到直线的距离公式，设d=

|2x-y+4|

22+1

=

|2x-y+4|

5

表示可行域内一点（x，y）到直线2x-y+4=0的距离的

5

倍．观察图形可得当可行域内点与B重合时，d达到最小值，由此即可算出z=|2x-y+4|最值．

解答： 解：（1）设z=x²+y²，则z的几何意义为动点P（x，y）到原点距离的平方．
作出不等式组

x-y+5≥0 x+y≥0 x≥3

对应的平面区域如图
由图象可知点A到原点的距离最大，
由

x-y+5=0 x=3

，可得A（3，8）
所以z=x²+y²的最大值为z=（3-0）²+（8-0）²=73．
x=0，y=0时，z=x²+y²的最小值为0．
（2）设P（x，y）为区域内的动点，可得
Z=

y

x-5

表示直线P、Q连线的斜率，其中Q（5，0）
运动点P，可得当P与A点重合时，Z=

8-0

3-5

=-4，取得最小值，k=-4，
当P与B点（3，-3）重合时，Z=

0+3

5-3

=

3

2

，达到最大值，
∴z=

y

x-5

的最大值和最小值分别为：

3

2

，-4．
（3）∵z=|2x-y+4|的几何意义是可行域内的点到直线2x-y+4=0的距离的

5

倍，
∴d=

|2x-y+4|

5

，当可行域内的点在直线2x-y+4=0上时，距离最小，最小值为0，B到直线的距离最大，z=|2x-y+4|的最大值为：

5

×

|2×3-(-3)+4|

5

=13．

点评：本题给出二元一次不等式组表示的平面区域，求几个目标函数的最值和取值范围．着重考查了平面内两点的距离公式、点到直线的距离公式和简单的线性规划等知识点，属于中档题．