题目内容
如图所示的几何体是由一个棱长为2的正四面体和一个半圆锥组成，点O为半圆的圆心，E为BC的中点．（1）求证：BC⊥平面ADE；
（2）求该几何体的体积．
考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积
专题：计算题,证明题,空间位置关系与距离
分析：（1）运用平面几何的性质，以及直线与平面垂直的判定和性质定理，即可得证；
（2）先求正四面体D-ABC的体积，作DH⊥平面ABC，∴VD-ABC=
S△ABC•DH，再求半圆锥的体积，其高为
OD，底面半径为1，运用圆锥的体积公式即可，最后将两体积相加即可．
（2）先求正四面体D-ABC的体积，作DH⊥平面ABC，∴VD-ABC=
| 1 |
| 3 |
OD，底面半径为1，运用圆锥的体积公式即可，最后将两体积相加即可．
解答：
解：（1）连接OA，OD，OE，
∵O为半圆的圆心，E为圆弧BC的中点，∴BC⊥OE，
∵BD=CD，OB=OC，∴BC⊥OD，
∵OE，OD?平面ODE，OD∩OE=O，
∴BC⊥平面ODE，DE?平面ODE，
∴BC⊥DE，同理可得BC⊥AD，
∵AD∩DE=D，AD，DE?平面ADE，
∴BC⊥平面ADE；
（2）由于三棱锥D-ABC为棱长为2的正四面体，
作DH⊥平面ABC，则H为△ABC的重心，∴AH=
AO=
=
，
在直角△DAH中，DH=
=
=
，
∵S△ABC=
×4=
，∴VD-ABC=
×
×
=
．
∵几何体D-BEC为半圆锥，且其高为OD=
=
，
底面半径为1，∴V半圆锥=
×
π×
=
，
∵几何体是由一个棱长为2的正四面体和一个半圆锥组成，
∴该几何体的体积为V=
+
．
解：（1）连接OA，OD，OE，∵O为半圆的圆心，E为圆弧BC的中点，∴BC⊥OE，
∵BD=CD，OB=OC，∴BC⊥OD，
∵OE，OD?平面ODE，OD∩OE=O，
∴BC⊥平面ODE，DE?平面ODE，
∴BC⊥DE，同理可得BC⊥AD，
∵AD∩DE=D，AD，DE?平面ADE，
∴BC⊥平面ADE；
（2）由于三棱锥D-ABC为棱长为2的正四面体，
作DH⊥平面ABC，则H为△ABC的重心，∴AH=
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
| AB2-OB2 |
2
| ||
| 3 |
在直角△DAH中，DH=
| DA2-AH2 |
4-
|
2
| ||
| 3 |
∵S△ABC=
| ||
| 4 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∵几何体D-BEC为半圆锥，且其高为OD=
| DB2-OB2 |
| 3 |
底面半径为1，∴V半圆锥=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| ||
| 6 |
∵几何体是由一个棱长为2的正四面体和一个半圆锥组成，
∴该几何体的体积为V=
2
| ||
| 3 |
| ||
| 6 |
点评：本题考查直线与平面垂直的判定和性质，考查三棱锥的体积和圆锥的体积的运算，属于中档题．
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