Question

甲乙丙丁四个人做传球练习，球首先由甲传出，每个人得到球后都等概率地传给其余三个人之一，设P_n表示经过n次传递后球回到甲手中的概率，求：
（1）P₂之值；
（2）P_n（以n表示过n次传递后球落在甲的手中）

Answer 1

考点：互斥事件的概率加法公式,相互独立事件的概率乘法公式

专题：概率与统计

分析：（1）经过一次传递后，落在乙丙丁手中的機率分別为

1

3

，而落在甲手中的概率为0，由此能求出两次传递后球落在甲手中的概率P₂之值．
（2）要想红过n次传递后球落在甲的手中，那么在n-1次传递后球一定不在甲手中，所以P_n=

1

3

（1-P_n-1），n=1，2，3，4，…，由此能求出P_n．

解答： 解：（1）经过一次传递后，落在乙丙丁手中的機率分別为

1

3

，
而落在甲手中的概率为0，因此P₁=0，
两次传递后球落在甲手中的概率为P₂=

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

+

1

3

×

1

3

=

1

3

（4分）
（2）要想红过n次传递后球落在甲的手中，那么在n-1次传递后球一定不在甲手中，
所以P_n=

1

3

（1-P_n-1），n=1，2，3，4，…，
因此P₃=

1

3

（1-P₂）=

1

3

×

2

3

=

2

9

，P₄=

1

3

（1-P₃）=

1

3

×

7

9

=

7

27

，
P₅=

1

3

（1-P₄）=

1

3

×

20

27

=

20

81

，P₆=

1

3

（1-P₅）=

1

3

×

61

81

=

61

243

，
∵P_n=

1

3

（1-P_n-1）  （4分）
∴P_n-

1

4

=-

1

3

（P_n-1-

1

4

）P_n-

1

4

=（P₁-

1

4

）•(-

1

3

)n-1
所以P_n=

1

4

-

1

4

•(-

1

3

)n-1．（4分）

点评：本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真这题，注意互斥事件概率加法公式的合理运用．