Question

如图1，一个正四棱柱形（底面是正方形）的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块（内部不渗水），容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个命题：
①正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；
②将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P；
③任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；
④若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是：（　　）（写出所有正确命题的代号）．

• A、②和③
• B、①和②
• C、②和④
• D、③和④

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：空间位置关系与距离

分析：设图（1）水的高度h₂，几何体正四棱柱的高为h₁，底面正方形的边长为b，图（2）中水的体积为b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
对于①，易知

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故①错误，D正确；
②对于②，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．
③对于③，假设③正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，导出矛盾，从而可得答案．

解答： 解：设图（1）水的高度h₂，几何体正四棱柱的高为h₁，底面正方形的边长为b，
图（2）中水的体积为b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以b²h₂-

1

3

b²h₂=

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故①错误，D正确．
对于②，当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．
对于③，假设③正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
经计算得水的体积为

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，矛盾，故③不正确．
综上所述，正确的是②④，
故选：C．

点评：本题主要考查对柱、锥、台、球的结构特征等考点的理解，考查空间思维与运算能力，属于难题．