Question

16．求f（x）=$\frac{1+sinx-2si{n}^{2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$的最大值及取最大值时相应的x的集合．

Answer 1

分析 由条件利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的最值条件求得f（x）的最大值及取最大值时相应的x的集合．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1+sinx-2si{n}^{2}（\frac{π}{4}-\frac{x}{2}）}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$=$\frac{sinx+cos（\frac{π}{2}-x）}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$=$\frac{2sinx}{4sin\frac{x}{2}}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$
=cos$\frac{x}{2}$+$\sqrt{3}$sin$\frac{x}{2}$=2（$\frac{1}{2}$cos$\frac{x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{x}{2}$）=2sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{x}{2}$），
故函数f（x）的最大值为2，此时，$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z．
即函数f（x）的最大值为2时，相应的x的集合为{x|x=4kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z}．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的最值，属于中档题．